Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения первого порядка при заданных начальных условиях (х^2+1)у'+4ху=3 у(0)=0

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант.
Обратите внимание на то, что окончательный ответ будет
$y= frac{x^3+3x}{(x^2+1)^2}$
так как у(0)=0

Answer 2

$(x^2+1)y'+4xy=3\y=uv;y'=u'v+v'u\(x^2+1)u'v+(x^2+1)v'u+4xuv=3\u((x^2+1)v'+4xv)+(x^2+1)u'v=3\begin{cases}(x^2+1)v'+4xv=0\(x^2+1)u'v=3end{cases}\\(x^2+1)frac{dv}{dx}+4xv=0\(x^2+1)frac{dv}{dx}=-4xv|*frac{dx}{(x^2+1)v}\frac{dv}{v}=-4frac{xdx}{x^2+1}\frac{dv}{v}=-2frac{d(x^2+1)}{x^2+1}\intfrac{dv}{v}=-2intfrac{d(x^2+1)}{x^2+1}\ln|v|=-2ln|x^2+1|\v=frac{1}{(x^2+1)^2}\frac{du}{dx(x^2+1)}=3|*dx(x^2+1)\du=3(x^2+1)\int du=3int(x^2+1)\u=x^3+3x+C\y=frac{x^3+3x+C}{(x^2+1)^2}\y(0)=0:$
$0=frac{C}{1}\C=0\y=frac{x^3+3x}{(x^2+1)^2}$