Question

Как доказать что а)у²=5х²+6 не имеет решений в целых числах.
Б) х³=2+3у² тот же вопрос.

Answer 1

а) перепишем уравнение в виде y^2 = (x^2 + 2) + 4(x^2 + 1)
y^2 должно давать такой же остаток при делении на 4, что и x^2 + 2. Но известно, что квадраты при делении на 4 дают только остатки 0 или 1, поэтому x^2 + 2 должен давать остаток 2 или 3, но тогда x^2 + 2 не может быть полным квадратом.

б) тут, например, подойдут остатки при делении на 9. Квадраты дают остатки 0 или 1 при делении на 3, тогда правая часть может давать остатки 2 + 0 = 2 или 2 + 3 = 5. Но кубы целых чисел дают остатки 0, 1 или 8 при делении на 9, так что 2 + 3y^2 не может быть точным кубом.