Question

помогите пожалуйста,желательно письменно(ну или так ,чтобы было понятно)

Answer 1

$1); ; (1+e^{x})ycdot y'=e^{x}\\ ycdot frac{dy}{dx} =frac{e^{x}}{1+e^{x}}; ; ,; ; int ycdot dy=int frac{e^{x}, dx}{1+e^{x}} \\frac{y^2}{2}=ln|1+e^{x}|+C\\y(1)=2; ,; ; 2=ln|1+e|+C; ; ,; ; C=2-ln(1+e)\\frac{y^2}{2}=ln(1+e^{x})+2-ln(1+e)$

$2); ; y'=2^{5x+y}; ; ,; ; ; frac{dy}{dx}=2^{5x}cdot 2^{y}\\int frac{dy}{2^{y}}=int 2^{5x}, dx\\int 2^{-y}, dy=int 2^{5x}, dx\\ -frac{2^{-y}}{ln2}=frac{2^{5x}}{5cdot ln2}+frac{C}{ln2}\\-2^{-y}=frac{1}{5}cdot 2^{5x}+C\\y(0)=1; ,; ; -2^{-1}=frac{1}{5}+C; ,; ; C=-frac{1}{2}-frac{1}{5}=-frac{7}{10}=-0,7; Rightarrow \\-2^{-y}= frac{1}{5}cdot 2^{5x}-0,7$

$3); ; y'=sin^3xcdot cosx\\ frac{dy}{dx}=sin^3xcdot cosx; ,; ; ; int dy=int sin^3xcdot underbrace{cosx, dx}_{d(sinx)}\\y_{obsh.}=frac{sin^4x}{4}+C\\y(frac{pi }{4})=1; ,; ; 1= frac{1}{4}cdot (frac{sqrt2}{2})^4+C; ; ,; ; C=1- frac{1}{16}=frac{15}{16}\\y_{chastn.}= frac{sin^4x}{4}+frac{15}{16}$