Question

Найти Аналитическую функцию f(z)=u+iv, если u=x^2-y^2+xy. Спасибо за помощь

Answer 1

Проверяем, что u(x, y) — гармоническая:
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2-2=0$

Всё хорошо, значит, u(x, y) может быть действительной частью аналитической функции.

Условия Коши-Римана:
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y};\quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}=2y-x\\ v(x,y)=2xy-\dfrac{x^2}2+\varphi(y)$

$2x+\varphi'(y)=\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x+y\\ \varphi'(y)=y\\ \varphi(y)=\dfrac{y^2}2+C$

$v(x,y)=2xy-\dfrac{x^2}2+\dfrac{y^2}2+C\\ f(z)=u\left(\dfrac{z+\bar z}2,\dfrac{z-\bar z}{2i}\right)+iv\left(\dfrac{z+\bar z}2,\dfrac{z-\bar z}{2i}\right)\\\boxed{f(z)=\left(1-\dfrac i2\right)z^2+iC, \quad C\in \mathbb R}$