Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(мат. анализ) 2 курс ,фото внутри

Answer 1

$y'=frac{4sqrt{9x^2-y^2}}{y}+frac{y}{x}\y'=frac{4sqrt{lambda^2(9x^2-y^2)}}{lambda y}+frac{lambda y}{lambda x}\y'=frac{4sqrt{9x^2-y^2}}{y}+frac{y}{x}$
Однородное уравнение:
$y'=frac{4sqrt{9x^2-y^2}}{y}+frac{y}{x}\y=tx;y'=t'x+t\t'x+t=frac{4sqrt{9x^2-t^2x^2}}{tx}+frac{tx}{x}\frac{dtx}{dx}=frac{4sqrt{9-t^2}}{t}|*frac{tdx}{4xsqrt{9-t^2}}\frac{tdt}{4sqrt{9-t^2}}=frac{dx}{x}$
А вот тут делаем остановку!при делении на корень мы могли потерять решения поэтому проверяем:
$sqrt{9-t^2}=0\9-frac{y^2}{x^2}=0\y^2=9x^2\y=^+_-3x\y'=^+_-3\3=frac{4sqrt{9x^2-9x^2}}{3x}+frac{3x}{x}\0=0\-3=frac{4sqrt{9x^2-9x^2}}{3x}-frac{3x}{x}\0=0$
Да, решения теряются, поэтому запоминаем их.Продолжаем:
$-frac{1}{8}intfrac{d(9-t^2)}{sqrt{9-t^2}}=intfrac{dx}{x}\-frac{1}{4}sqrt{9-t^2}=ln|x|+C\-frac{1}{x}sqrt{9x^2-y^2}-ln|x^4|=C$
Проверяем общее решение:
$(-frac{1}{x}sqrt{9x^2-y^2}-ln|x^4|)'=C'\frac{1}{x^2}sqrt{9x^2-y^2}-frac{1}{x}*frac{9x-yy'}{sqrt{9x^2-y^2}}-frac{4}{x}=0|*xsqrt{9x^2-y^2}\9x-frac{y^2}{x}-9x+yy'-4sqrt{9x^2-y^2}=0|*frac{1}{y}\-frac{y}{x}+y'-frac{4sqrt{9x^2-y^2}}{y}=0\y'=frac{4sqrt{9x^2-y^2}}{y}+frac{y}{x}$

Окончательный ответ:
$-frac{1}{x}sqrt{9x^2-y^2}-ln|x^4|=C ;y=^+_-3x$

Answer 2

Еще одна просьба, поможете с таким разобраться? Пожалуйста
https://znanija.com/task/25892602