Question

Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания куба, которая с ней скрещивающимися.

Answer 1

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми,  диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1.
Возьмем точку К - середину отрезка СС1,  АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1).
По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК.  Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с помощью треугольника АОС1.
$AC=a sqrt{2};AO= frac{1}{2}AC= frac{1}{2}a sqrt{2};AC1=a sqrt{3};$
$OC _{1}= sqrt{OC ^{2} +CC _{1} ^{2} }= sqrt{ frac{1}{2}a ^{2}+ a^{2} }=a sqrt{ frac{3}{2} } ;$
Пусть $AH=x; HC _{1}=AC _{1}-x;$
Выразим ОН из двух треугольников.
$OH ^{2}=AO ^{2}-AH^{2}=OC _{1}^{2}-HC_{1} ^{2};$
$frac{1}{2}a ^{2}- x^{2} = frac{3}{2}a^{2}-(a sqrt{3}-x )^{2};$
$a^{2}+ x^{2}-3 a^{2}+2ax sqrt{3} - x^{2} =0;$
$2ax sqrt{3}=2 a^{2};x= frac{a}{ sqrt{3} };$
$OH= sqrt{ frac{1}{2} a^{2} - frac{ a^{2} }{3} }= sqrt{ frac{ a^{2} }{6} } = frac{a}{ sqrt{6} }$
Ответ $frac{a}{ sqrt{6} }$

da7ca3684bb6c48ded7e28b7fe572622.docx