Question

Даны: Функция u=arctg(x*y)+z^3, точка B (1,-1,2) и вектор а=-2i+3j+$sqrt{3k}$. Найти gradu в точке B, и производную функции u в точке B по направлению вектора а

Answer 1

$u=arctan(xy)+z^3\mathrm{grad} u=cfrac{partial u}{partial x} vec{i}+cfrac{partial u}{partial y} vec{j}+cfrac{partial u}{partial z} vec{k}=cfrac{y}{1+x^2y^2} vec{i}+cfrac{x}{1+x^2y^2} vec{j}+3z^2 vec{k}\mathrm{grad}_B u=cfrac{-1}{1+1} vec{i}+cfrac{1}{1+1} vec{j}+3cdot 4 vec{k}=-cfrac{vec{i}}{2}+cfrac{vec{j}}{2}-12vec{k}\cfrac{partial u}{partial e}=nabla ucdot cfrac{vec{a}}{|vec{a}|}=mathrm{grad} ucdot cfrac{vec{a}}{|vec{a}|}=$
$=cfrac{1}{|vec{a}|}left(-cfrac{2y}{1+x^2y^2} vec{i}+cfrac{3x}{1+x^2y^2} vec{j}+3sqrt{3}z^2 vec{k}right)\left(cfrac{partial u}{partial a}right)_B=cfrac{1}{|vec{a}|}left(cfrac{2}{1+1} vec{i}+cfrac{3}{1+1} vec{j}+3sqrt{3}cdot 4 vec{k}right)=\=cfrac{1}{|vec{a}|}left(vec{i}+cfrac{3}{2} vec{j}+12sqrt{3} vec{k}right)\|vec{a}|=sqrt{4+9+3}=4\left(cfrac{partial u}{partial a}right)_B=cfrac{vec{i}}{4}+cfrac{3}{8} vec{j}+3sqrt{3} vec{k}$