Question

1) Докажите, что при любом натуральном n число 2*7^2n+16^n+8*5^n кратно 11

 

2) При каких значениях параметра а уравнение

(a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0

имеет два действительных корня, больших -1?

 

3)Вычислите:

[(sqrt(1-sin^2(153*))+sqrt(tg^2(207*)-sin^2(207*)]*sin(63*) 

Answer 1

1. Будем доказывать методом математической индукции.

Проверяем истинность утверждения при n = 1:

а) 2*49 + 16 + 40 = 154 = 11*14  -  делится на 11.

б) Предположим, что 2*7^(2k) + 16^k +8*5^k   - делится на 11. Где k - произвольное натуральное число.

в) Докажем, что тогда при n = k+1 полученное выражение - тоже делится на 11:

$2*7^{2k+2}+16^{k+1}+8*5^{k+1}=49*(2*7^{2k})+16*16^k+5*(8*5^k)=$

$5(2*7^k+16^k+8*5^k)+(44*(2*7^{2k})+11*16^k)$

Теперь четко видно что оба больших слагаемых делятся на 11:

первое - исходя из предположения, второе - имеет 11 как общий сомножитель для своих слагаемых.

Итак мы доказали , что если при произвольном n= k выражение делится на 11, то и при n = k+1 выражение делится на 11.

Значит исходное выражение делится на 11.  что и требовалось доказать.

2)$(a+1)x^2-(2a+5)x+a=0, D=4a^2+20a+25-4a^2-4a=16a+25$

D>0    a>-25/16   a>-1,5625

$x_{1}=frac{2a+5+sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1$

$x_{2}=frac{2a+5-sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1$

Разбиваем ОДЗ на две части:

а) (-1; беск)

$2a+5+sqrt{16a+25}>-2a-2$

$2a+5-sqrt{16a+25}>-2a-2$

 

$sqrt{16a+25}>-4a-7$

$sqrt{16a+25}<4a+7$

Первое из написанных неравенств верно. Проверим второе:

16a+25<16a^2+56a+49$16a+25<16a^2+56a+49, 16a^2+40a+24>0, D=64$

Корни  -1; -1,5   Решение с учетом ОДЗ: (-1; беск)

б) (-1,5625; -1)

${2a+5+sqrt{16a+25}}<-2a-2$

$2a+5-sqrt{16a+25}<-2a-2$

 

$sqrt{16a+25}<-4a-7$

Правая чать на выбранной области - отрицательна, что недопустимо. Здесь решений нет.

Ответ: (-1; бескон).

3.

$[sqrt{1-sin^2153}+sqrt{tg^2207-sin^2207}]sin63=[-cos153+frac{sin^2207}{-cos207}]sin63$

$=[sin63+frac{cos^263}{sin63}]sin63=sin^263+cos^263=1$

Ответ: 1