Question

Вычислить определенный интеграл от функции e^cx cosωx на отрезке [a,b], где a=[π/ω,  b=π/2ω].

 

c=4; ω=7 

Answer 1

Интеграл берется двукратным последовательным интегрированием по частям. 1-раз u(x)=e^cx; dv=(cosωx)dx;

2-й раз u1(x)=(c/ω)*e^cx;dv=(sinωx)dx;

с последующим упрощением выражения ( приведение подобных членов).

Определенный интеграл вычисляется из неопределенного путем вычитания

его значения при нижней границе из значения при верхней границе интегрирования.

  Ответ в общем виде таков:

$frac{omega}{(c^2)+(omega^2)}*e^{pi*c/2*omega}+frac{c}{(c^2)+(omega^2)}*e^{pi*c/omega}$

 

После подстановки конкретных значений "с" и "омега", имеем:

 

(4/65)* e^((4/7)*pi)+(7/65)*e^((2/7)*pi) = 0,63475

 

Answer 2

Пока займемся вычислением неопр. интеграла:

I = $int{e^{cx}coswx}, dx = frac{1}{c}int{coswx}, de^{cx} = frac{1}{c}e^{cx}coswx + frac{w}{c}int{e^{cx}sinwx}, dx =\ = frac{1}{c}e^{cx}coswx - frac{w}{c^2}int{sinwx}, de^{cx} =$

$= frac{1}{c}e^{cx}coswx + frac{w}{c^2}e^{cx}sinwx - frac{w^2}{c^2}* I$

Отсюда находим I:

$I = frac{e^{cx}(c*coswx+w*sinwx)}{c^2+w^2}$

Подставив значения с и w:

$I = frac{e^{4x}(4cos7x+7sin7x)}{65}$

Теперь найдем значение интеграла от П/w до П/2w:

$I = frac{e^{2pi/7}(7+4e^{2pi/7})}{65}$