Question

Целые числа a, b, c таковы, что ab + bc + ca = 0. Докажите, что число abc можно представить в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.

Answer 1

$ab + ac + ab = 0$
Возьмём какое-нибудь простое число m такое, что $m^n$ является делителем числа c. Простые числа - это числа, у которых делитель 1 и они сами. 
Перепишем наше равенство
$ab = -c(a+b)$ 
Отсюда следует, что так как c делится на $m^n$, то и какое-либо число слева от знака равенства(a или b) должно делиться на $m^n$, а другое на делиться на m. Отсюда у числа abc возникает делитель $m^{2n}$, то есть квадрат целого числа. Если мы будем аналогично рассуждать про каждое число, то мы увидим, что полученное число m будет входить всегда в четной степени. То есть мы получим: $abc = m^{2n}a_1b_1c_1$, аналогично для новых чисел $a_1b_1c_1$, если они будут иметь общий делитель, то он войдёт в произведение в кубе.