Question

Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4, а висота ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими14 см. Знайдіть площу трикутника.

Answer 1

Я решила так.
Гипотенуза содержит $sqrt{9+16}=5$ частей,  высота делит ее на отрезки n и  m, так что  $m-n=14; m=n+14$
Тогда  $n= frac{n}{n+m} }*5= frac{5n}{2n+14}$ части, 
$m= frac{5m}{n+m}= frac{5(n+14)}{2n+14}$ части
Выразим высоту из двух прямоугольных треугольников в частях
$h^{2}=9- frac{25 n^{2} }{(2n+14) ^{2} }=16- frac{25(n+14) ^{2} }{(2n+14) ^{2} }$  Отсюда
$25( frac{(n+14) ^{2} }{(2n+14) ^{2} }- frac{ n^{2} }{(2n+14) ^{2} } )=7$
$25((n+14) ^{2}- n^{2} )=7(2n+14) ^{2}$
$25(28n+196)=7(4 n^{2}+56n+196 )$
$25*28(n+7)=28( n^{2}+14n+49 )$
$25n+175= n^{2}+14n+49$
$n^{2}-11n-126=0; D=625; n=-7$
$n=18; m=32$; Гипотенуза равна 50 см
1 часть = 10 см, катеты 3*10=30см  и 4*10=40 см
Площадь равна $S= frac{1}{2}*30*40=600$ кв см