Question

tgx+ctgx=2 Решие уравнение

Answer 1

$mathrm{tg}x+mathrm{ctg}x=2$

Распишем тангенс и котангенс:
$frac{sin x}{cos x} + frac{cos x}{sin x} =2$

Учитываем ОДЗ:
$cos x cdot sin x neq 0 Rightarrow x neq frac{ pi k}{2} , kin Z$

Домножаем уравнение на (sinx·cosx)≠0:
$sin x cdot sin x+cos xcdot cos x=2cdot sin xcdot cos x$
$sin^2x+cos^2x-2sin xcos x=0$
$(sin x-cos x)^2=0$
$sin x-cos x=0$

Разделим левую и правую часть на cosx≠0:
$mathrm{tg}x-1=0$
$mathrm{tg}x=1$
$x= frac{ pi }{4}+ pi n, nin Z$

Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $frac{ pi }{4}+ pi n, nin Z$

Answer 2

tgx+ctgx=2 

sinx/cosx +cosx/sinx =2

sin^2x+cos^2x-2sicx*cosx
-----------------------------------=0
sinx*cosx

ОДЗ:

1)sin^2x+cos^2x-2sicx*cosx=0

2)sinx*cosx НЕ=0

1.sinx не=0

x не=pik .k=Z

2.cosx не=0

x не=pi/2+pik .k=Z

sin^2x+cos^2x-2sicx*cosx=0
(sinx-cosx)^2=0
sinx-cosx=0
sinx=cosx
x=pi/4+2pi*k
x=-3pi/4+2pi*k

x=pi/4+pik /k=Z