Question

Найдите длины катетов прямоугольного треугольника если его площадь 60 а периметр 40

Answer 1

Пусть а,b -катеты, с - гипотенуза, тогда из условия задачи составляем равенства
$S=frac{1}{2}ab=60$
$P=a+b+c=40$ => $a+b=40-c$

используя теорему Пифагора $c^2=a^2+b^2$
используя формулу квадрата двучлена
$c^2=a^2+b^2=(a^2+2ab+b^2)-2ab=(a+b)^2-4*frac{1}{2}ab=$
$(40-c)^2-4*60=1600-80c+c^2-240=c^2-80c+1360$
откуда $1360-80c=0$
$80c=1360$
$c=1360:80=17$

перепишем начальные равенства
$ab=60*2;a+b=40-17$
$ab=120;a+b=23$

откуда $a(23-a)=120; b=23-a$
$23a-a^2=120$
$a^2-23a+120=0$
$D=(-23)^2-4*1*120=529-480=49=7^2$
$a_1=frac{23-7}{2*1}=8; b_1=23-8=15$
$a_2=frac{23+7}{2*1}=15; b_2=23-15=8$
значит катеты равны 8 и 15 (гипотенуза равна 17)
ответ: 8 и 15