Question

$lim_{n to infty} frac{(n+1) ^{4}-(n-1) ^{4}}{(n+1) ^{3}+(n-1) ^{3}}$
Полностью и досконально расписать как сделали

Answer 1

$lim_{n to infty} frac{(n+1)^{4}-(n-1)^{4} }{(n+1)^{3}+(n+1)^{3}}$
Неопределённость оо/оо. Чтобы раскрыть такую неопределённость обычно числитель и знаменатель делят на эн в максимальной степени. Для этого достаточно раскрыть скобки, привести подобные, найти эн в максимальной степени и разделить числитель и знаменатель на него.
Что мы и проделаем, но попутно будем делать упрощения, если получится. Для удобства сначала числитель преобразуем, потом знаменатель.

Числитель раскладываем по формуле разности квадратов. Причём два раза.
$(n+1)^{4}-(n-1)^{4}=((n+1)^{2}-(n-1)^{2})*((n+1)^{2}+(n-1)^{2})=$
$=((n+1)-(n-1)) * ((n+1)+(n-1)) * ((n+1)^{2}+(n-1)^{2})=$
$=( n+1-n+1) * (n+1+n-1) * (n^{2}+2n+1+n^{2}-2n+1)=$
$=2 * 2n * (2n^{2}+2)=4n*2(n^{2}+1)=8n(n^{2}+1)$

Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов
$(n+1)^{3}+(n+1)^{3}=$
$=((n+1)+(n-1))*((n+1)^{2}-(n+1)(n-1)+(n-1)^{2})=$
$=2n*(n^{2}+2n+1-n^{2}+1+n^{2}-2n+1)=2n*(n^{2}+3)$

Находим отношение числителя к знаменателю
$frac{8n(n^{2}+1)}{2n*(n^{2}+3)} = frac{4(n^{2}+1)}{n^{2}+3}$

Вот теперь переходим непосредственно к нахождению предела. Находим, что максимальная степень эн - это квадрат. Вот на эн в квадрате ($n^{2}$) и будем делить числитель и знаменатель
$lim_{n to infty} frac{4(n^{2}+1)}{n^{2}+3}= lim_{n to infty} frac{4*(1+ frac{1}{ n^{2}})}{1+ frac{3}{n^{2}}}= frac{4*(1+ frac{1}{oo^{2}})}{1+ frac{3}{oo^{2}}}= frac{4(1+0)}{1+0} =4$

При подстановке бесконечности получаем деление константы на бесконечность, что равно нулю.