Question

Какое наибольшее количество чисел от 1700 до 2300 (крайние числа включительно) можно выбрать так, что сумма никаких двух из них не делится на 5?

Answer 1

От 1700 до 2300 включительно ровно 601 число.
Сумма делится на 5 в трех случаях:
1) Оба числа делятся на 5;
2) Одно имеет остаток 1, другое 4;
3) Одно имеет остаток 2, другое 3.
Можно взять 120 чисел с остатком 1 (от 1701 до 2296),
еще 120 чисел с остатком 2 (от 1702 до 2297).
Сумма двух будет иметь остаток 2, 3, или 4.
И еще 1 число с остатком 0, например, 1800. Больше нельзя.
Всего 241 число.

Answer 2

Чисел с остатком 0 можно взять только одно, потому что, если взять хотя бы два, то их сумма будет делиться на 5. По этой же причине нельзя брать ни одного числа с остатком 3 (3+2=5) и с остатком 4 (1+4=5)