Question

Докажите что при любом натуральном значении n выполняется равенство 1/1*2+1/2*3+1/3*4+...1/n(n+1)=n/n+1

Answer 1

Заметим, что для любого n, для которого выражение существует,  выполнено 

$frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}.$

Поэтому

$frac{1}{1cdot 2}+frac{1}{2cdot 3}+frac{1}{3cdot 4}+ldots + frac{1}{(n-1)n}+ frac{1}{n(n+1)}=$

$=(frac{1}{1}-frac{1}{2})+(frac{1}{2}-frac{1}{3})+ldots+(frac{1}{n-1}-frac{1}{n})+ (frac{1}{n}-frac{1}{n+1})=1-frac{1}{n+1}=frac{n}{n+1}$