Предмет: Алгебра,
автор: DennyHuette
М-шахматы это игра в которую можно играть только втроем. Несколько марсиан решили сыграть несколько партий в м-шахматы так, чтобы каждые трое играли все вместе ровно один раз. Один из марсиан заболел и марсианам пришлось играть на 55 игр меньше. Сколько всего было марсиан (включая заболевшего)?
Ответ:
Ответы
Автор ответа:
0
В данном случае нужно воспользоваться формулой сочетания без повторений:
![C^{k}_{n} = dfrac{n!}{(n - k)! cdot k! } C^{k}_{n} = dfrac{n!}{(n - k)! cdot k! }](https://tex.z-dn.net/?f=C%5E%7Bk%7D_%7Bn%7D+%3D+dfrac%7Bn%21%7D%7B%28n+-+k%29%21+cdot+k%21+%7D+)
Здесь k = 3. n - неизвестная величина.
Т.к. известно, что при n - 1 было сыграно на 55 меньше игр, то получим следующее уравнение:
![C^{3}_{n} - C^{3}_{n - 1} = 55 \ \
dfrac{n!}{3! cdot (n - 3)!} - dfrac{(n - 1)!}{3! cdot (n - 4)!} = 55\ \
dfrac{n!}{(n - 3)!} - dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 55 cdot 3! \ \
dfrac{n!}{(n - 3) cdot (n - 4)!} - dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 330
\ \ dfrac{n! - (n - 1)!(n - 3)}{(n - 3)(n - 4)! }= 330 \ \
dfrac{n(n - 1)! - (n - 3)(n - 1)!}{(n - 3)(n - 4)!} = 330
\ \ dfrac{(n -n + 3)(n - 1)!}{(n - 3)!} = 330 \ \
dfrac{3(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}{(n - 3)!} = 330 \ \ C^{3}_{n} - C^{3}_{n - 1} = 55 \ \
dfrac{n!}{3! cdot (n - 3)!} - dfrac{(n - 1)!}{3! cdot (n - 4)!} = 55\ \
dfrac{n!}{(n - 3)!} - dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 55 cdot 3! \ \
dfrac{n!}{(n - 3) cdot (n - 4)!} - dfrac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = 330
\ \ dfrac{n! - (n - 1)!(n - 3)}{(n - 3)(n - 4)! }= 330 \ \
dfrac{n(n - 1)! - (n - 3)(n - 1)!}{(n - 3)(n - 4)!} = 330
\ \ dfrac{(n -n + 3)(n - 1)!}{(n - 3)!} = 330 \ \
dfrac{3(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}{(n - 3)!} = 330 \ \](https://tex.z-dn.net/?f=C%5E%7B3%7D_%7Bn%7D+-+C%5E%7B3%7D_%7Bn+-+1%7D+%3D+55+%5C+%5C+%0Adfrac%7Bn%21%7D%7B3%21+cdot+%28n+-+3%29%21%7D+-+dfrac%7B%28n+-+1%29%21%7D%7B3%21+cdot+%28n+-+4%29%21%7D+%3D+55%5C+%5C+%0Adfrac%7Bn%21%7D%7B%28n+-+3%29%21%7D+-+dfrac%7B%28n+-+1%29%21%7D%7B%28n+-+4%29%21%7D+%3D+55+cdot+3%21+%5C+%5C+%0Adfrac%7Bn%21%7D%7B%28n+-+3%29+cdot+%28n+-+4%29%21%7D+-+dfrac%7B%28n+-+1%29%21%7D%7B%28n+-+4%29%21%7D+%3D+330%0A%5C+%5C+dfrac%7Bn%21+-+%28n+-+1%29%21%28n+-+3%29%7D%7B%28n+-+3%29%28n+-+4%29%21+%7D%3D+330+%5C+%5C%0A+dfrac%7Bn%28n+-+1%29%21+-+%28n+-+3%29%28n+-+1%29%21%7D%7B%28n+-+3%29%28n+-+4%29%21%7D+%3D+330%0A+%5C+%5C+dfrac%7B%28n+-n+%2B+3%29%28n+-+1%29%21%7D%7B%28n+-+3%29%21%7D+%3D+330+%5C+%5C+%0Adfrac%7B3%28n+-+1%29%28n+-+2%29%28n+-+3%29%21%7D%7B%28n+-+3%29%21%7D+%3D+330+%5C+%5C+)
![(n - 1)(n - 2) = 330:3 \ \ (n^2 - 2n - n + 2) - 110 = 0 \ \ n^2 - 3n - 108= 0 \ \
n^2 - 12n + 9n - 108 = 0 \ \
n(n - 12) + 9(n - 12) = 0 \ \
(n + 9)(n - 12) = 0 \ \
n = -9 - ne ud.; n = 12 (n - 1)(n - 2) = 330:3 \ \ (n^2 - 2n - n + 2) - 110 = 0 \ \ n^2 - 3n - 108= 0 \ \
n^2 - 12n + 9n - 108 = 0 \ \
n(n - 12) + 9(n - 12) = 0 \ \
(n + 9)(n - 12) = 0 \ \
n = -9 - ne ud.; n = 12](https://tex.z-dn.net/?f=%28n+-+1%29%28n+-+2%29+%3D+330%3A3+%5C+%5C+%28n%5E2+-+2n+-+n+%2B+2%29+-+110+%3D+0+%5C+%5C+n%5E2+-+3n+-+108%3D+0+%5C+%5C+%0An%5E2+-+12n+%2B+9n+-+108+%3D+0+%5C+%5C+%0An%28n+-+12%29+%2B+9%28n+-+12%29+%3D+0+%5C+%5C+%0A%28n+%2B+9%29%28n+-+12%29+%3D+0+%5C+%5C+%0An+%3D+-9+-+++ne+++ud.%3B+++n+%3D+12+)
Значит, всего было 12 марсиан.
Ответ: 12 марсиан.
Здесь k = 3. n - неизвестная величина.
Т.к. известно, что при n - 1 было сыграно на 55 меньше игр, то получим следующее уравнение:
Значит, всего было 12 марсиан.
Ответ: 12 марсиан.
Похожие вопросы