Question

Решить систему.$left { {{ x^{2} + y^{2} - 2x = 0 } atop { x^{2} -2xy + 1 =0}} right.$

Answer 1

x² + y² - 2x = 0
x² - 2xy + 1 = 0

x² + y² - 2x = 0
2xy = x² + 1

x² + y² - 2x = 0
y = (x² + 1)/2x  - подставим значение y в I уравнение

x² + [(x² + 1)/2x]² - 2x = 0
y = (x² + 1)/2x

x² + (x⁴ + 2x² + 1)/4x² - 2x = 0       |·4x²
y = (x² + 1)/2x

4x⁴ + x⁴ + 2x² + 1 - 8x³ = 0
y = (x² + 1)/2x

5x⁴ - 8x³ + 2x² + 1 = 0 
y = (x² + 1)/2x

5x⁴ - 5x³ - 3x³ + 3x² - x² + 1 = 0
y = (x² + 1)/2x

5x³(x - 1) - 3x²(x - 1) - (x² - 1) = 0
y = (x² + 1)/2x

5x³(x - 1) - 3x²(x - 1) - (x - 1)(x + 1) = 0
y = (x² + 1)/2x

(x - 1)(5x³ - 3x² - x - 1) = 0
y = (x² + 1)/2x

Произведение множителей тогда равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x = 1      или     5x³ - 3x² - x - 1 = 0
                         5x³ - 5x² + 2x² - 2x + x - 1 = 0
                        5x²(x - 1) + 2x(x - 1) + (x - 1) = 0
                       (5x² + 2x + 1)(x - 1) = 0
x = 1    или     5x² + 2x + 1 = 0
D = 4 - 5·4 < 0 ⇒ больше нет корней.

x = 1
y = (x² + 1)/2x    

x = 1
y = (1 + 1)/2
 
 x = 1
 y = 1
 
 Ответ: (1; 1).        

Answer 2

Есть более альтернативное решение. Не через уравнения 4 степени

Answer 3

Да, должно быть (=

Answer 4

Спасибо большое за решение. Правда, я пыталась сложить их вначале, а потом свернуть в какую-нибудь формулу сокращенного умножения.

Answer 5

Это решение основано на способах группировки различных слагаемых. Сейчас mn25 добавит попроще решение)

Answer 6

Подставим второе уравнение в первое, получим
   $x^2+y^2-2x=x^2-2xy+1\ \ y^2-2x+2xy-1=0$
И это же последнее уравнение разложим на множители
$(y-1)(y+1)-2x(1-y)=0\ \ (y-1)(2x+y+1)=0$

Т.е. произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
y-1 = 0  откуда  y=1
Подставив у=1 в первое уравнение, найдем значение переменной х
$x^2+1-2x=0\ \ (x-1)^2=0\ \ x=1$

$y+2x+1=0$    откуда   $y=-2x-1$

$x^2+(-2x-1)^2-2x=0\ \ x^2+4x^2+4x+1-2x=0\ 5x^2+2x+1=0\ \ D=4-20 textless 0$

Уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: (1;1).

Answer 7

Спасибо большое)