Question

Найти решение линейного дифференциального уравнения y'=x^2+y

Answer 1

Решение: y'=x^2+y

 

Решаем линейное однородное

y'=y

y=c*e^x c - любое действительное

 

y=c(x)*e^x

y'=c'*e^x+c*e^x

 

y'=x^2+y

c'*e^x+c*e^x=x^2+c*e^x

c'=x^2 *e^(-x)

 

инт (x^2 *e^(-x)) dx= - инт x^2 d (e^(-x))=-x^2 * e^(-x)+инт e^(-x) d x^2=

-x^2 * e^(-x)+инт e^(-x) 2x d x=-x^2 * e^(-x)-2 инт x d e^(-x)=

-x^2 * e^(-x)-2x *e^(-x)-2e^(-x)+c

 

c(x)=-e^(-x)*(x^2+2x+2)+f

y=(-e^(-x)*(x^2+2x+2)+f)=-x^2-2x-2+f*e^x, f - любое действительное