Question

Решить диффуры: 4x^2*y' = 4x^2+y^2

Answer 1

Поделив обе части уравнения на $x^2$, получим
                    $4y'=4+ dfrac{y^2}{x^2}$
Данное дифференциальное уравнение является однородным, введем замену:
                                              $y=ux$
Тогда по правилу дифференцирования произведения $y'=u'x+u$. Подставляя замену в уравнение, получим:
                $4(u'x+u)=4+u^2\ 4xu'=u^2-4u+4\ 4x dfrac{du}{dx}=(u-2)^2\\ dfrac{du}{(u-2)^2} = dfrac{dx}{4x}$
Проинтегрируем обе части уравнения, получим
                 $displaystyle intlimitsdfrac{du}{(u-2)^2} = intlimits frac{dx}{4x}Rightarrow,, - frac{1}{u-2} = frac{1}{4} ln|x|+ln C$
                                                    $1=(2-u)lnbigg(Ctimes sqrt[4]{|x|} bigg)$
Вернувшись к замене, получим
        $displaystyle1=bigg(2- frac{y}{x} bigg)ln bigg(Ctimes sqrt[4]{|x|}bigg)Rightarrow,, x=(2x-y)lnbigg(Ctimes sqrt[4]{|x|}bigg)$
Нашли это общий интеграл, но можем выразить в явный вид:
         $ylnbigg(C timessqrt[4]{|x|} bigg)=2xlnbigg(Ctimes sqrt[4]{|x|} bigg)-x$
                           $y= dfrac{2xlnbigg(Ctimessqrt[4]{|x|} bigg)-x}{lnbigg(Ctimes sqrt[4]{|x|} bigg)} Rightarrow,, y=2x- dfrac{x}{lnbigg(Ctimes sqrt[4]{|x|} bigg)} .$


Ответ  $y=2x- dfrac{x}{lnbigg(Ctimes sqrt[4]{|x|} bigg)} .$