Question

Ненулевые векторы a, b и c связаны соотношениями вектор а= 2 вектор b и вектор с= -20 вектор b. Определите угол между векторами а и с.

Answer 1

Запишем векторы как радиус наборы координат концов вектора, если их начало поместить в йентр координат. Примем, что у вектора b будут координаты (x, y)
тогда координаты вектора a (2x, 2y)
и координаты вектора c (-20x, -20y)     (так как умножение на скаляр просто увеличивает на этот скаляр координаты вектора)

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Рассмотрим скалярное произведение векторов a и b.
Длина вектора а по теореме пифагора равна корню из суммы квадрат координат вектора = $sqrt{ 4x^{2}+4y^{2} } =2 sqrt{x^{2}+y^{2}}$
Длина вектора с по той же теореме будет равна = $sqrt{400x^2+400y^2} =20 sqrt{x^2+y^2}$
Значит скалярное произведение а и с будет равно:
$20 sqrt{x^2+y^2} * 2 sqrt{x^2+y^2}*cos alpha = 40 (x^2+y^2)*cos alpha$

Однако скалярное произведение можно найти и просто перемножив координаты векторов и сложив их. Тогда скалярное произведение будет равно:
2x*(-20x)+2y*(-20y)=-40x²-40y²= - 40(x²+y²)
Из двух выражений скалярных произведений выражаем косинус альфа, тоесть косинус угла между векторами:
$40 (x^2+y^2)*cos alpha = -40 (x^2+y^2)$ следовательно
$cos alpha =-1$ значит α=π
Угол между векторами равен π = 180 градусов