Question

Решите пожалуйста
с подробным решением с очень подробным и с ответом ,даю 100 баллов

Answer 1

Используем эквивалентные функции (две функции называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1. Это записывается так: f ~ g)

ctg x = cos x / sin x ~ 1/x (следствие из первого замечательного предела)
1 - cos^2(3x) = sin^2(3x) ~ (3x)^2 (тоже из первого замечательного предела)

ctg x (1 - cos^2(3x))/(x^2 + 5x) ~ 1/x * 9x^2 / (x (x + 5)) = 9 / (x + 5)

$displaystyle lim_{xto0}frac{mathrm{mathop{ctg}}x(1-cos^23x)}{x^2+5x}=lim_{xto0}frac9{x+5}=frac9{0+5}=frac9{5}$

_______________________

$displaystyle lim_{xto0}frac{mathop{mathrm{ctg}}x,(1-cos^23x)}{x^2+5x}=lim_{xto0}frac{cos xcdotsin^23x}{sin xcdot x(x+5)}=lim_{xto0}frac{9cos x}{x+5}cdotfrac{x}{sin x}times\times left(frac{sin 3x}{3x}right)^2=lim_{xto0}frac{9cos x}{x+5}cdotlim_{xto0}frac x{sin x}cdotleft(lim_{3xto0}frac{sin 3x}{3x}right)^2=frac{9cos0}{0+5}times\times1cdot1^2=frac95$

Основное тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Определение ctg x: ctg x = cos x /  sin x
Первый замечательный предел: lim sin x / x = 1

Answer 2

Начиная с какого места в строчке ctg x (1 - cos^2(3x))/(x^2 + 5x) ~ 1/x * 9x^2 / (x (x + 5)) = 9 / (x + 5) становится непонятно?