Question

Решить в целых числах уравнение 1+x+x^2+x^3=2^y

Answer 1

Решение смотрите на картинке.

Answer 2

(1+x)+(x²+x³)=2^y
(1+x)+x²(1+x)=2^y
(1+x)(1+x²)=2^y
В правой части показательная функция,целые значения принимает при y≥0
1)y=0⇒2^0=1
(1+x)(1+x²)=1
Равнство верное при х=0
2)y>0
Значит произведение (1+х)(1+х²) это произведение 2 в степени
Пусть 1+х=2^m и 1+х²=2^n
2^m*2^n=2^y
Отсюда у=m+n
Это возможно при условии m=n=1⇒y=2
2*2=2² получили верное равенство
Значит 1+х=1 и 1+х²=0⇒х=0
Ответ (0;0),(1;2)