Question

Найдите границу: $lim_{x to 0} frac{(1+x)^{a}-1}{x}$

Answer 1

Если подставим значение x=0 получим неопределенность вида 0/0.
Очевидно что функции $f(x)=(1+x)^a-1, ,g(x)=x$ дифференцируемы в любой точке, следовательно они дифференцируемы в окрестности точки x=0. Очевидно что $g'(x)ne 0$.

Найдем следующий предел:

$displaystyle lim_{x to 0} frac{f'(x)}{g'(x)}= lim_{x to 0} frac{acdot (1+x)^{a-1}}{1}= lim_{x to 0} acdot (1+x)^{a-1}=a$. 

Следовательно, по правилу Лопиталя:

$displaystyle lim_{x to 0} frac{(1+x)^{a}-1}{x} =a$

Answer 2

Воспользуемся замечательным пределом $displaystyle lim_{xto 0} frac{e^x-1}{x} =1$

Представим выражение в так:

$displaystyle lim_{xto 0} frac{(1+x)^a-1}{x} =lim_{xto 0} frac{e^{aln(1+x)}-1}{aln (1+x)} cdot frac{aln(1+x)}{x} =a$

Answer 3

Это гениально!