Question

Известно что ненулевые числа a, b и c удовлетворяют соотношениям:
a^2-b^2=bc
b^2-c^2=ac
Докажите, что a^2-c^2=ab

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Делим оба соотношения на $c^{2}$; a/c=p; b/c=q:

$p^2-q^2=q;\ \ q^2-1=p$

Из второго выражаем p через q и подставляем в первое:

$q^4-3q^2-q+1=0;\ \ (q+1)(q^3-q^2-2q+1)=0$

Если q= - 1, то p=0, что противоречит условию. Значит, нулю равна вторая скобка. Теперь переходим к тому, что нужно доказать: 

$p^2-1=pq$

Избавляемся от p:

$q^4-q^3-2q^2+q=0;\ \ q(q^3-q^2-2q+1)=0$

Вторая скобка равна нулю по доказанному