Question

В арифметической прогрессии а6/а2=3, а сумма первых десяти членов равна 110. Найдите первый член и разность прогрессии?

Answer 1

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$, получим $\dfrac{a_6}{a_2} = \dfrac{a_1+5d}{a_1+d}=3$, тогда, умножив обе части на $a_1+d\ne0$, получим $a_1+5d=3a_1+3d$.
Упростив уравнение, получим $2a_1-2d=0$.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_{n}= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n$. используя эту формулу, запишем для суммы первых десяти членов, т.е. $S_{10}= \dfrac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=10a_1+45d=110$. Поделив обе части уравнения на 5, получим $2a_1+9d=22$.

Решим систему уравнений $\displaystyle \left \{ {{2a_1-2d=0} \atop {2a_1+9d=22}} \right.$
От первого уравнения отнимем второе, т.е. $2a_1-2d-2a_1-9d=0-22$
$-11d=-22\\ d=2$

Выразим $a_1$ из перового уравнения, т.е. $a_1=d=2$

Ответ: первый член равен 2 и разность прогрессии равен 2.