Question

если sin((x-y)/2)sin((y-z)/2)sin((z-x)/2)=1/4; sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)=?

Answer 1

Есть такие формулы преобразования произведения в сумму:
sin a*sin b = 1/2*(cos(a-b) - cos(a+b))
sin a*cos b = 1/2*(sin(a+b) + sin(a-b))
Умножаем по порядку
1) $sin \frac{x-y}{2}sin \frac{y-z}{2}= \frac{1}{2}(cos \frac{x-y-y+z}{2} -cos \frac{x-y+y-z}{2} )=$
$= \frac{1}{2} (cos \frac{x-2y+z}{2} -cos \frac{x-z}{2} )$

2) $sin \frac{z-x}{2}*\frac{1}{2} (cos \frac{x-2y+z}{2} -cos \frac{x-z}{2} )= \frac{1}{2}(sin \frac{z-x}{2}cos \frac{x-2y+z}{2}-$
$-sin \frac{z-x}{2}cos \frac{x-z}{2}) = \frac{1}{4}(sin \frac{z-x+x-2y+z}{2}+sin \frac{z-x-x+2y-z}{2}- sin \frac{2z-2x}{2})$
$= \frac{1}{4}(sin(z-y)+sin(y-x)-sin(z-x))= \frac{1}{4}$
Умножаем все на 4
sin(z-y) + sin(y-x) - sin(z-x) = -sin(x-y) - sin(y-z) - sin(z-x) = 1
Меняем знак
sin(x-y) + sin(y-z) + sin(z-x) = -1