Question

При каких значения параметра p, неравенство верно при всех значениях х.

Answer 1

Умножим обе части уравнения на (-1) и поменяем знак неравенства на противоположный

$(5-p)x^2-2(p-2)x+p+3\ \textgreater \ 0$

Вычислим дискриминант квадратного уравнения

$D=b^2-4ac=(-2(p-2))^2-4\cdot(5-p)(p+3)=\\ =4p^2-16p+16+4p^2-8p-60=8p^2-24p-44$

неравенство будет выполнятся для всех х ∈ R, если D<0

$8p^2-24p-44\ \textless \ 0|:4\\ 2p^2-6p-11\ \textless \ 0$

Приравниваем к нулю

$2p^2-6p-11=0\\ D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot2\cdot(-11)=36+88=124\\ \\ p_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} = \frac{6\pm2 \sqrt{31} }{2\cdot2} = \frac{3\pm \sqrt{31} }{2}$


___+___(3-√31/2)___-____(3+√31/2)____+___

$p\in (\frac{3- \sqrt{31} }{2} ;\frac{3+ \sqrt{31} }{2} )$

Answer 2

неравенство верно при всех х при выполнении 2-х условий
p-5<0  и   D<0
p<5  
D=(2p-4)²+(p+3)(p-5)=4p²-16p+16+p²+3p-5p-15=
= 5p²-18p+1   Dp=18²-4*5*1=324-20=304=4√19

p1=1/10[18-4√19]=1.8-2√19/5<5
p2=1/10[18+4√19]=1.8+2√19/5<5

------------------p1-----------------------p2----------
        +                            -                          +

ответ  p∈(1.8-2√19/5;1.8+2√19/5)