Question

Найдите все значения а, при которых неравенство 3*sin^3 (x) + a*cos^2 (x) + 3*a^2 *sin(x) - a + 3 >= 0 выполняется для любых х.

Answer 1

3sin^3 x + a*(1 - sin^2 x) + 3a^2*sin x + (3-a) >= 0
3sin^3 x - asin^2 x + 3a^2*sin x + (a+3-a) >= 0
3sin^3 x - asin^2 x + 3a^2*sin x + 3 >= 0
Кубическое неравенство относительно sin x.
Как известно, sin x ∈ [-1; 1]. Если неравенство выполняется при любых x,
то оно выполняется при sin x = -1 и при sin x = 1:
3(-1) - a*1 + 3a^2(-1) + 3 = -3a^2 - a = -a(3a + 1) >= 0
a ∈ [-1/3; 0]
3*1 - a*1 + 3a^2*1 + 3 = 3a^2 - a + 6 >= 0 - это выполнено при любом а
Ответ: a ∈ [-1/3; 0]