Question

найдите все значения α, при которых неравенство
cos³X - αsin²X + 5α²cosX + α - 1 ≤ 0
выполняется для любых Х.
______________
пожалуйста, помогите!!

Answer 1

Переводим sin^2 x в cos^2 x
cos^3 x - a*(1 - cos^2 x) + 5a^2*cos x + (a-1) <= 0
cos^3 x - a + a*cos^2 x + 5a^2*cos x + (a-1) <= 0
cos^3 x + a*cos^2 x + 5a^2*cos x + (-a+a-1) <= 0
Кубическое неравенство относительно cos x.
Замена cos x = y ∈ [-1; 1] при любых значениях x.
y^3 + ay^2 + 5a^2*y - 1 <= 0
Если оно истинно при любом x, то оно истинно при y = 1 и при y = -1
{ -1 + a*1 - 5a^2*1 - 1 = -5a^2 + a - 2 <= 0
{ 1 + a*1 + 5a^2*1 - 1 = 5a^2 + a <= 0
Решаем эти два неравенства
{ D = 1 - 4*(-5)(-2) < 0
{ a(5 + a) <= 0
У 1 неравенства ветви направлены вниз и D < 0, значит, оно выполнено при любых a.
2 неравенство выполнено при a ∈ [-5; 0]
Ответ: [-5; 0]