Question

Четырехугольник MNKL(NK=KL) можно вписать в окружность. О – точка
пересечения диагоналей МК и NL. Площади треугольников MNO и NOK
равны 8 и 2 соответственно. Найдите ON , если MN=√80 .

Answer 1

Так как NK=NL, то NKL - равнобедренный треугольник, откуда углы KNL и NLK равны. Углы NMK и NLK равны (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Значит углы NMK и KNO равны.
Треугольники NKO и MKN подобны (так как равны углы NMK и KNO, угол NKM - общий. Коэффициент подобия - квадратный корень отношения площадей.
$S_{NKO}:S_{NMK}=S_{NKO}:(S_{NKO}+S_{MNO})=2:(2+8)=2:10\\ k = \sqrt{1\over5}$
Из подобия NKO и MKN:
${NO\over MN}=k\\NO=\sqrt{80}\sqrt{1\over5}=4$

Ответ: NO = 4