Question

Помогите с частными производными!
Вычислите значения производной сложной функции z=z(x;y), где x=x(t),
y=y(t) при $t= t_{0} ; z= frac{x}{y} - frac{y}{x} , x= sin2t, y=tg^2t, t_0 = frac{pi}{4}$

Answer 1

$z=z(x,y); ,; ; x=x(t); ,; ; y=y(t)\\ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt}+ frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} \\\z= frac{x}{y} -frac{y}{x} ; ,; ; x=sin2t; ,; ; y=tg^2t; ,; ; t_0= frac{pi}{4} ; ;\\ frac{partial z}{partial x} = frac{1}{y} +frac{y}{x^2} ; ,; ; frac{partial z}{partial y}=-frac{x}{y^2}-frac{1}{x} ; ;\\ frac{dx}{dt}=2, cos2t; ,; ; frac{dy}{dt}= frac{2tgt}{cos^2t} ; ;$

$frac{dz}{dt}=(frac{1}{y} +frac{x}{y^2})cdot 2cos2t+(-frac{x}{y^2}-frac{1}{x})cdot frac{2tgt}{cos^2t} \\t_0= frac{pi }{4}; ; Rightarrow ; ; x_0=sin(2cdot frac{pi}{4})=sinfrac{pi}{2}=1; ,; y_0=tg^2frac{pi}{4}=1^2=1; ,\\ frac{dz(t_0)}{dt} =(1+1)cdot 2underbrace {cosfrac{pi}{2}}_{0}+(-1-1)cdot frac{2tgfrac{pi}{4}}{cos^2frac{pi}{4}} =-2cdot frac{2cdot 1}{(frac{sqrt2}{2})^2} = -frac{4cdot 4}{2} =-8$