Question

Вот такой интересный пример попался, который всё никак не получается решить)

Answer 1

Сделаем замену y = x - 2,5
$frac{3}{y+2,5}+ frac{1}{y+1,5} + frac{4}{y+0,5}+ frac{4}{y-0,5} + frac{1}{y-1,5}+ frac{3}{y-2,5}=0$
$3( frac{1}{y+2,5}+ frac{1}{y-2,5} )+( frac{1}{y+1,5}+ frac{1}{y-1,5} )+4( frac{1}{y+0,5} + frac{1}{y-0,5} )=0$
$3* frac{y-2,5+y+2,5}{(y+2,5)(y-2,5)}+ frac{y+1,5+y-1,5}{(y+1,5)(y-1,5)}+4* frac{y+0,5+y-0,5}{(y+0,5)(y-0,5)}=0$
$frac{6y}{(y+2,5)(y-2,5)} + frac{2y}{(y+1,5)(y-1,5)} + frac{8y}{(y+0,5)(y-0,5)}=0$
$2y*[ frac{3}{y^2-6,25}+ frac{1}{y^2-2,25}+ frac{4}{y^2-0,25} ]=0$
y1 = x - 2,5 = 0; x1 = 2,5
Попробуем решить уравнение в скобке
$frac{3}{y^2-6,25}+ frac{1}{y^2-2,25}+ frac{4}{y^2-0,25}=0$
$frac{3(y^2-2,25)(y^2-0,25)+(y^2-6,25)(y^2-0,25)+4(y^2-6,25)(y^2-2,25)}{(y^2-6,25)(y^2-2,25)(y^2-0,25)} =0$
3(y^4-2,5y^2+0,5625) + (y^4-6,5y^2+1,5625) + 4(y^4-8,5y^2+14,0625) = 0
8y^4 - (7,5 + 6,5 + 34)y^2 + (1,6875 + 1,5625 + 56,25) = 0
8y^4 - 48y^2 + 59,5 = 0
16y^4 - 96y^2 + 119 = 0
Биквадратное уравнение
D/4 = 48^2 - 16*119 = 2304 - 1904 = 400 = 20^2
1) y^2 = (48 - 20)/16 = 28/16 = 7/4
y2 = x - 2,5 = -√7/2; x2 = 2,5 - √7/2 = (5 - √7)/2
y3 = x - 2,5 = √7/2; x3 = 2,5 + √7/2 = (5 + √7)/2

2) y^2 = (48 + 20)/16 = 68/16 = 17/4
y4 = x - 2,5 = -√17/2; x4 = 2,5 - √17/2 = (5 - √17)/2
y5 = x - 2,5 = √17/2; x5 = 2,5 + √17/2 = (5 + √17)/2

Да, это было интересное уравнение!

x1 = 2,5 = 5/2; x2 = (5-√7)/2; x3 = (5+√7)/2; x4 = (5-√17)/2; x5 = (5+√17)/2
Удвоенная сумма корней
2(x1+x2+x3+x4+x5) = 2*(5/2+(5-√7)/2+(5+√7)/2+(5-√17)/2+(5+√17)/2)
Все корни сокращаются, остается
2(x1+x2+x3+x4+x5) = 2*5/2*5 = 25
Ответ: 25

Answer 2

удвоенная сумма корней= 10