Question

Катеты прямоугольного треугольника 3 и 6 см. Определить радиус окружности, которая касается катетов и центр которой лежит на гипотенузе.

Answer 1

Пусть гипотенуза AC, катеты AB=3, BC=6, центр окружности O, точка касания со стороной AB - K, со стороной BC - L.
OK=OL=радиусу окружности,
OK⊥AB, OL⊥BC как радиусы проведенные к касательным
Тогда
$OK=AOsin(\angle KAO)\\OL=OCsin(\angle OCL)=OCcos(\angle KAO)=(AC-AO)cos(\angle KAO)\\OK=OL\Rightarrow {OK\over OL}=1={AO\over AC-AO}tg(\angle KAO)={AO\over AC-AO}{BC\over AB}\\2{AO\over AC-AO}=1\\AC=3AO\\AO={AC\over 3}$

Треугольники AKO и ABC подобны (угол A общий, углы K и B прямые). Значит отношение KO и BC равно отношению AO и AC. Отношение AO и AC равно 1/3. Значит KO равен 6/3=2 - радиус окружности

Ответ: радиус окружности равен 2