Question

Дифференциальное уравнение! Помогите

$xy'-2y sqrt{x} =xy$

Answer 1

Можно сразу увидеть что это уравнение с разделяющимися переменными. Если не можете увидеть, то давайте убедимся :)

Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной

$y'= dfrac{xy+2y sqrt{x} }{x}$

Вот и убедились :)

Воспользуемся определением дифференциала 

$displaystyle frac{dy}{dx} = frac{y(x+2 sqrt{x} )}{x} \ \ \ frac{dy}{y} = (1+2x^big{- frac{1}{2} })dx$

Интегрируя обе части уравнения, имеем:

$displaystyle intlimitsfrac{dy}{y} = intlimits(1+2x^big{- frac{1}{2} })dx\ \ ln|y|=x+4 sqrt{x} +C$

Нашли это общий интеграл (можно оставить так в ответ). Если же нужно найти общее решение, то тогда нужно записать в явном виде

$y=e^big{x+4 sqrt{x} +C}$ - общее решение