Question

Точка дотику кола,вписано в прямокутний трикутник ,ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 і 6 см .Знайдіть периметр трикутника

Answer 1

Нехай АСВ - прямокутний трикутник, кут С прямий, О - центр вписаного в трикутник кола, K,T,N - точки дотику відповідно зі сторонами АВ, ВС, АС.
АК=4 см, ВК=6см

OK=ON=OT=CN=CT=r - радіус вписаного кола
AN=AK=4 см
BT=BK=6 см

Гіпотенуза АВ=АК+ВК=4+6=10 см

По теоремі Піфагора 
$AC^2+BC^2=AC^2$
$(4+r)^2+(6+r)^2=10^2$
$16+8r+r^2+36+12r+r^2=100$
$2r^2+20r+52-100=0$
$2r^2+20r-48=0$
$r^2+10r-24=0$
$(r+12)(r-2)=0$
$r+12=0; r_1=-12<0$ - не підходить, радіус не может приймати відємне значення
$r-2=0;r_2=2;$
$r=2$

Катети дорівнюють 
АС=AN+CN=4+2=6 см
BC=CT+BT=2+6=8 см
Периметр трикутника дорівнює 
P(ABC)=AB+BC+AC=10+8+6=24 см
відповідь: 24 см