Question

xy'+y=4x^3 решите уравнение

Answer 1

$xy'+y=4x^3|:x\ \ y'+ frac{y}{x} =4x^2$

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. 
Воспользуемся методом Бернулли.
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$, получаем

$u'v+uv'+ frac{uv}{x} =4x^2\\ u'v+u(v'+ frac{v}{x} )=4x^2$

Данный метод состоит из двух этапов:

1) $v'+frac{v}{x} =0$ - это уравнение с разделяющимися переменными, отсюда $v= frac{1}{x}$

2) Находим u

$u'=4x^3$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$u=x^4+C$

Обратная замена

$y=frac{1}{x}(x^4+C)=x^3+frac{C}{x}$ - общее решение

Answer 2

Альтернативный способ решения.

$xy'+y=4x^3; (xy)'=4x^3; xy=int 4x^3, dx; xy=x^4+C; y=x^3+frac{C}{x}$