Question

а) решите уравнение
$cos ^{2} x-cos2x=0,5$
б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3П/2; -5/2]

Answer 1

$cos^{2} x-cos2x=0.5$
$cos^{2} x-(2cos^{2}x-1)=0.5$
$cos^{2} x-2cos^{2}x+1=0.5$
$-cos^{2} x=0.5-1$
$cos^{2} x=0.5$
1) $cosx= frac{ sqrt{2}}{2}$
$x=+-frac{ pi }{4}+2 pi k$, k∈Z
2) $cosx=- frac{ sqrt{2}}{2}$
$x=+-frac{3 pi }{4}+2 pi k$, k∈Z

Объединим решения 1) и 2), получим:
$x=frac{ pi }{4}+frac{ pi k}{2}$, k∈Z

Найдем корни, принадлежащие отрезку:
$-frac{3 pi}{2} leq frac{ pi }{4}+frac{ pi k}{2} leq -frac{pi}{2}$
$-frac{3}{2} leq frac{1}{4}+frac{k}{2} leq -frac{1}{2}$
$-6 leq 1+2k leq -2$
$-7 leq 2k leq -3$
$-3.5 leq k leq -1.5$, k∈Z => k=-3; -2

k=-3, $x=frac{ pi }{4}-frac{3 pi}{2}=frac{ pi -6 pi }{4}=-frac{5 pi }{4}$
k=-2, $x=frac{ pi }{4}-frac{2 pi}{2}=frac{ pi -4 pi }{4}=-frac{3 pi }{4}$

Ответ: -5П/4; -3П/4

Answer 2

(1+cos2x)/2-cos2x=1/2
1+cos2x-2cos2x=1
cos2x=0
2x=π/2+πn,n∈Z
x=π/4+πn/2
-3π/2≤π/4+πn/2≤-π/2
-6≤1+2n≤-2
-7≤2n≤-3
-3,5≤n≤-1,5
n=-3⇒x=π/4-3π/2=-5π/4
n=-2⇒x=π/4-π=-3π/4