Question

Найти неопределённый интеграл, пользуясь разложением рациональных дробей на сумму простейших
$intlimits { frac{x}{(x-3)(x^2+10)} } , dx$

Answer 1

$displaystyle intlimits { frac{x}{(x-3)(x^2+10)} } , dx =intlimits { frac{A}{x-3} } , dx +intlimits {frac{Bx+C}{x^2+10}} , dx ,,boxed{=}$

$displaystyle frac{x}{(x-3)(x^2+10)} = frac{A(x^2+10)}{(x-3)(x^2+10)} + frac{(Bx+C)(x-3)}{(x-3)(x^2+10)} \ \ x=A(x^2+10)+(Bx+C)(x-3)$

$x^0:,, 0=10A-3C\ x^1:,, 1=11A-2B-2C\ x^{-1}:,, -1=11A+4B-4C$
Решая эту систему уравнения, получаем $A= dfrac{3}{19} ;,,,, B=- dfrac{3}{19};,,, C= dfrac{10}{19}$

Окончательно имеем

$displaystyle boxed{=},, frac{3}{19} intlimits {frac{1}{x-3}} , dx + frac{1}{19} intlimits {frac{10-3x}{x^2+10}} , dx =\ \ \ = frac{3}{19}intlimits {frac{1}{x-3}} , dx + frac{1}{19} intlimits {frac{10}{x^2+10}} , dx - frac{3}{38}intlimits {frac{d(x^2+10)}{x^2+10}} =\ \ \ = frac{3}{19}ln|x-3|+ frac{sqrt{10}}{19}arctg frac{x}{sqrt{10}} - frac{3}{38}ln(x^2+10)+C$