Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
1.1 f(x)=16-x^2, f(x)=0. 1.2. f(x)=1+x^2, y= 2. 1.3. f(x)=(x-1)^2, y=0, x=3. 1.4. f(x)=5cosx, f(x)=3cosx. 1.5. f(x)=x^2+2, f(x)=3x+2.

Answer 1

1.1  y=16-x², y=0. парабола, ветви вниз. надо найти точки пересечения параболы и прямой.
16-x²=0 =>x₁=-4  x₂=4
S=∫₋₄⁴(16-x²)dx=(16x-x³/3)|₋₄⁴=64-64/3-(-64+64/3)=128-128/3=256/3

1.2  y=1+x²  y=2 Найдем точки пересечения: 1+x²=2 => x²=1 => x₁=-1 x₂=1
S=∫₋₁¹(1+x²)dx=(x+x³/3)|₋₁¹=1+1/3-(-1-1/3)=2+2/3=8/3

1.3  y=(x-1)² y=0 x=3  Точка пересечения (x-1)²=0 => x=1
S=∫₁³(x-1)²dx=(x³/3-x²+x)|₁³=9-9+3-(1/3-1+1)=3-1/3=8/3

1.4  y=5cosx  y=3cosx
S=∫(5cosx-3cosx)dx=∫2cosxdx=2sinx=2(sin(π/2)-sin(-π/2))=4

1.5  y=x²+2  y=3x+2   Точка пересечения x²+2=3x+2  => x²-3x=0 => x=0, x=3
S=∫₀³(x²+2)dx-∫₀³(3x+2)dx=(x³/3+2x)|₀³-(3x²/2+2x)|₀³=9+6-(27/2+6)=9-27/2=-9/2. Это значит что прямая выше параболы и S=∫(3x+2)dx-∫(x²+2)dx=9/2