Question

В классе 36 учеников. Для поднятия настроения учитель начал хвалить от-
дельных учеников. Выяснилось, что в любой четвёрке учеников одинаковое
количество похваленных учеников. Более того, в любой тройке учеников коли-
чество похваленных учеников также одинаковое. Докажите, что добрый учи-
тель похвалил всех своих учеников.

Answer 1

Допустим, он похвалил всех, кроме 1. Тогда можно составить четверку,
в которой похвалены в 4, а можно - в которой только 3.
Тоже самое с тройками. В одной похвалены все 3, а в другой только 2.
Тоже самое будет, если он не похвалит 2, 3, и так далее учеников.
Поэтому он или похвалил всех (в четверках - по 4, в тройках - по 3),
или не похвалил никого (и в четверках, и в тройках - по 0).