Question

ABC — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот. Докажите, что ОА + ОВ+ОС =0

Answer 1

так как АВС правильный треугольник, то точка О не только точка пересечения высот, но и точка пересечения медиан (по свойству медианы-биссектрисы-высоты равнобедренного треугольника).

Далее как известно медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,
Пусть АМ, ВК, СН - медианы

тогда (векторы!!!) ОА+ОВ+ОС=-2/3(AM+BK+CH)=
используем свойство вектора медианы
-2/3 * ( 1/2(AB+AC) + 1/2(BA+BC)+ 1/2(CA+ CB))=-2/3*1/2*(AB+BA+AC+CA+BC+CB)=-2/3*1/2* 0=0, что и требовалось доказать
Доказано