Question

Два трактора, работая совместно, могут вспахать поле за 12 ч. Если бы сначала половину поля вспахал первый трактор,а затем второй трактор вспахал оставшуюся часть, то на вспашку поля было бы затрачено 25 ч. За какое время может вспахать это поле каждый трактор, работая отдельно?

Answer 1

Обозначим всю работу за 1. Пусть x, y - производительность 1-го и 2-го тракторов. Выполняя вместе работу два трактора тратят 12 часов, т.е. $frac{1}{x+y} =12$

Если же работа выполняется каждым трактором наполовину, то тратится 25 часов, т.е. $frac{ frac{1}{2} }{x} + frac{ frac{1}{2} }{y} =25$

Имеем следующую систему уравнений:

$left { {{ frac{1}{x+y}=12 } atop { frac{1}{2x} +frac{1}{2y}}=25} right.$

$left { {{ x+y=frac{1}{12}} atop { frac{x+y}{xy} =50} right.$

$left { {{ x=frac{1}{12}-y} atop { frac{1}{12xy} =50} right.$

$left { {{ x=frac{1}{12}-y} atop { xy = frac{1}{600}} right.$

Подставим выражение с x во 2-е уравнение и решим его.

$y( frac{1}{12}-y)- frac{1}{600}=0$

$y^{2}- frac{1}{12}y+frac{1}{600}=0$

$D=( frac{1}{12} )^{2}-4* frac{1}{600}= frac{1}{3600}$

$y_{1}= frac{ frac{1}{12}- frac{1}{60} }{2} = frac{1}{30}$

$y_{2}= frac{ frac{1}{12}+ frac{1}{60} }{2} = frac{1}{20}$

$x_{1}= frac{1}{12}- frac{1}{30} } = frac{1}{20}$

$x_{2}= frac{1}{12}- frac{1}{20} } = frac{1}{30}$

Значит, производительности тракторов равны $frac{1}{30}$ и $frac{1}{20}$

Тогда, работая отдельно, тракторы могут выполнить всю работу за $frac{1}{ frac{1}{30} }=30$ часов и  $frac{1}{ frac{1}{20} }=20$ часов.

Ответ: 20 часов, 30 часов.