Question

Докажите тождество (1+tg^2α) cos^2α +sin^2α (1+ctg^2α)=2

Answer 1

$(1+tg^2a)cdot cos^2a+sin^2acdot (1+ctg^2a)=\\= frac{1}{cos^2a}cdot cos^2a+ sin^2acdot frac{1}{sin^2a}=1+1=2$

Answer 2

Основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1.
Если это тождество разделить почленно на sin²α при условии, что α ≠ πn, n ∈ Z, то получим тождество 1 + ctg²α = 1/sin²α.
Если это тождество разделить почленно на cos²α при условии, что α ≠ π/2 + πn, n ∈ Z, то получим тождество 1 + tg²α = 1/cos²α.
Докажем тождество (1 + tg²α) · cos²α + sin²α · (1+ ctg²α) = 2.
(1 + tg²α) · cos²α + sin²α · (1+ ctg²α) = 1/cos²α · cos²α + sin²α · 1/sin²α = 1 + 1 = 2.