Question

В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а=2 вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на катетах, одна-на гипотенузе и последняя совпадает с вершиной прямого угла треугольника. найдите стороны прямоугольника.

Answer 1

пусть КВМР - искомый прямоугольник 
ВМ = а -  длина,  РМ= b - ширина

ΔАКР - равнобедренный и ΔРМС - равнобедренный, значит
РМ=МС = b  ⇒  ВМ + МС = a+b = 2 (см)  ⇒b = 2-a

S = (2*2)/2 = 2(cм²) - площадь ΔАВС
S₁ =(a*a)/2 = a²/2  - площадь АКР
S₂ = (b*b)/2 = b²/2 = (2-a)²/2  - площадь РМС
S₃ = S-S₁-S₂ - площадь искомого прямоугольника
S₃ = у(а) = 2  - а²/2 - (4-4а+а²)/2 =(4-а²-4+4а-а²)/2 = (4а-2а²)/2 = 2a-a² - функция зависимости площади прямоугольника от стороны  а 
найдем производную
у'(a) = (2a-a²)' = = 2-2a
y'(a) =0
2-2a=0
a=1
          +             -
_________1_________

Значит а=1  и при а=1 функция у(а)  принимает максимальное значение
а=1  b=2-1 =1
Прямоугольник КВМР имеет максимальную площадь, если он-квадрат со стороной а=b=1см