Question

Помогите, пожалуйста с алгеброй

Докажите, что при любом натуральном n

a) 8n^2-2n кратно 3

б) (n^3+n)(n+5) кратно 6

в) если n^3-4n четно, то n^3-4n делится на 48

Answer 1

а) При n=2 утверждение неверно: 8*4-2*2=32-4=28 не кратно 3.
б) Исходное выражение равно n(n^2+1)(n+5). При n=2 число не кратно 6, т.к. ни один из сомножителей 2, 5, 7 не кратен 3.
в) n^3-4n=n(n^2-4)=n(n-2)(n+2)
Если исходное число четно, это означает, что по крайней мере один из сомножителей четный. Но тогда и остальные сомножители четны, и вся тройка имеет вид 2k, 2(k+1), 2(k+2).
Произведение гарантированно делится на 8. Теперь достаточно доказать, что k(k+1)(k+2) делится на 48/8=6. Но это очевидно, так как среди любых M последовательных чисел всегда найдется ровно одно, делящееся на M. В частности, ровно 1 из сомножителей k и k+1 четно и ровно 1 из всех трех сомножителей делится на 3. Тогда произведение делится на 2*3=6 и требуемое утверждение доказано.