Question

На стороне АВ квадрата АВСD построен равносторонний треугольник АВM   Найдите угол DMC

Answer 1

достроим тот самый треугольник. получим домик с крышей, все внешние параметры одинаковы и пусть равны а.  Рассмотрим треугольник ADM. Угол DAM =150, найдем длину DM, она же равна CM. Теперь для  треугольника ADM теорема косинусов: DM^2= a^2 + a^2 -2a*acos<DAM=2a^2-2a^2cos150=2a^2-2a^2cos(pi-30)=
=a^2(2+кореньиз3).
теперь теорема косинусов для треуг DMC: СD^2=DM^2 + CM^2 - 2*DM*CM*cos<DMC.
a^2=a^2(2+кореньиз3) + a^2(2+кореньиз3) - 2*a^2(2+кореньиз3)cos<DMC.
обе части уравнения делим на a^2, группируем соотвествующие члены и остается:
2(2+кореньиз3)(1-cos<DMC)=1
решаем это уравнение относительно cos<DMC и получаем, что
cos<DMC=кореньиз2/2. Откуда <DMC = 45градусов 

Answer 2

Треугольник ДАМ-равнобедренный, так как АД=АМ=а
Угол ДАМ=уг.ДАВ+уг.ВАМ=90+60=150
угол АДМ=уг.АМД=(180-150):2=30:2=15
Аналогично, угол ВМС=15 градусам
УголДМС=уг.АМВ-уг.АМД-уг.ВМС=60-15-15=30