Question

в правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 см.Найти расстояние от середины ребра SB до плоскости SCD

Answer 1

Расстояние от середины ребра SB до плоскости SCD в два раза меньше, чем расстояние от точки В до этой плоскости. Прямая АВ параллельна CD, поэтому она параллельна плоскости SCD, поэтому все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости SCD. Пусть М - середина АВ, а К - середина CD. Сечение пирамиды плоскостью SKM содержит высоту SH пирамиды (Н - центр основания, совпадает с серединой МК). Поэтому CD перпендикулярно плоскости SKM (CD перпендикулярно двум прямым в этой плоскости - МК и высоте пирамиды SH). Поэтому если в плоскости SMK провести перпендикуляр МР к SK, то это будет перпендикуляр к плоскости SCD (точно так же - МР перпендикулярно SK и CD, которая перпендикулярна всей плоскости SKM).
Таким образом, надо найти высоту МР треугольника SKM к боковой стороне SK.
МК = 1; SM = SK =√3/2 (высоты в правильных треугольниках ASB и CSD);
SH = √((√3/2)^2 - (1/2)^2) = √2/2; 
MK*SH = SK*MP; MP = √(2/3); искомое расстояние равно половине этой величины (см. первое предложение :) ).
Ответ 1/√6;

Answer 2

Можно еще упростить решение - дело в том, что нужное расстояние равно расстоянию от центра основания до этой плоскости. В координатном представлении задача сама собой решается, так как вершины этой пирамиды лежат в точках (1/√2,0,0) (0,1/√2,0) (-1/√2,0,0) (0,-1/√2,0) (0,0,1/√2) при правильном выборе осей. Плоскость SCD это x + y + x = 1/√2; или (n,r) = 1/√6; где r = (x,y,z) n - единичный вектор нормали к плоскости. В правой части стоит нужное расстояние.

Answer 3

Плоскость SCD это x + y + z = 1/√2; опечатка в комментарии

Answer 4

Можно вычислить это расстояние как высоту пирамиды SCDH (Н - центр основания) это правильная пирамида объемом V = (1/√2)^3/6; и площадь SCD равна S = √3/4; откуда 3V/S = h ... тот же ответ

Answer 5

использовано определение расстояния точки до плоскости, теорема о трех перпендикулярах, формула высоты правильного треугольника, формула площади треугольника

Answer 6

За что?! За то, что вы избавились от ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ в знаменателе))))

Answer 7

Ну, автор задачи тогда не смогла понять, что это одно и то же :) там был не корень из 6, и корень из 10, но это не принципиально. :))) еще был тоже случай, когда я дал в ответе arctg, а в задачнике в ответе стоял arccos ... тоже было весело, часа три объяснял, что мой ответ такой же :)))