Question

почему sin(x+dx)-sin(x)=2cos(x+dx/2)*sin(dx/2)

Answer 1

Используем формулу 
$sin a - sin b =2sinfrac{a-b}{2}cosfrac{a+b}{2}$

$sin(x+dx) - sin x =2sinfrac{x+dx-x}{2}cosfrac{x+dx+x}{2}=\ =2sinfrac{dx}{2}cosfrac{2x+dx}{2}=2sinfrac{dx}{2}cos(frac{2x}{2}+frac{dx}{2})=\ =2sinfrac{dx}{2}cos(x+frac{dx}{2}).$

Answer 2

а как она доказывается эта формула

Answer 3

а зачем? она применяется сразу - в готовом виде, т.к. считается одной из основных, а доказывается в 10-11 классе в основном. почитай здесь http://oldskola1.narod.ru/trigF37.htm