Question

Если /_A, /_B, /_C, и /_D - внутренние углы выпуклого четырехугольника ABCD и /_A =80 градусов, /_B =160 градусов и ctg /_C = 1/3, то ctg /_D равен?

Answer 1

Попробую. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам.

 

В данном случае

 

$angle A+angle B+angle C+angle D=360^circ$

 

Подставим известные значения

 

$80^circ+160^circ+angle C+angle D=360^circ$

 

Упростим это выражение

 

$angle C+angle D=360^circ-80^circ-160^circ$

 

$angle C+angle D=120^circ$

 

От обеих частей уравнения возьмем котангенс

 

$cot(angle C+angle D)=cot(120^circ)$

 

Заметим, что

 

$cot(120^circ)=-frac{1}{sqrt{3}}$.

 

Тогда уравнение преобразуется

 

$cot(angle C+angle D)=-frac{1}{sqrt{3}}$

 

Воспользуемся известной формулой для котангенсов

 

$cot(alphapmbeta)=frac{cotalphacotbetamp1}{cotbetapmcotalpha}$

 

Тогда получим

$frac{cotangle Ccotangle D-1}{cotangle C+cotangle D}=-frac{1}{sqrt{3}}$

 

По условию задачи известно, что $cotangle C=frac{1}{3}$

 

Подставим в последнюю формулу

 

$frac{frac{1}{3}cotangle D-1}{frac{1}{3}+cotangle D}=-frac{1}{sqrt{3}}$

 

Умножим обе части на $-sqrt{3}$. Получаем

 

$-sqrt{3}frac{frac{1}{3}cotangle D-1}{frac{1}{3}+cotangle D}=1$

 

Умножим числитель дроби в левой части на -1

 

$sqrt{3}frac{1-frac{1}{3}cotangle D}{frac{1}{3}+cotangle D}=1$

 

Умножим обе части на $frac{1}{3}+cotangle D.$

 

$sqrt{3}*(1-frac{1}{3}cotangle D)=frac{1}{3}+cotangle D$

 

$sqrt{3}-frac{sqrt{3}}{3}cotangle D=frac{1}{3}+cotangle D$

 

Перенесем неизвестные вправо, свободные члены влево.

 

$sqrt{3}-frac{1}{3}=cotangle D+frac{sqrt{3}}{3}cotangle D$

 

Умножим обе части на 3.

$3sqrt{3}-1=3cotangle D+sqrt{3}cotangle D$

 

Или

 

$3cotangle D+sqrt{3}cotangle D=3sqrt{3}-1$

 

$cotangle D*(3+sqrt{3})=3sqrt{3}-1$

 

$cotangle D=frac{3sqrt{3}-1}{3+sqrt{3}}$

 

Если избавиться от иррациональности в знаменателе, то можно получить следующее

 

$frac{3sqrt{3}-1}{3+sqrt{3}}=frac{(3sqrt{3}-1)*(3-sqrt{3})}{(3+sqrt{3})*(3-sqrt{3})}=$

 

$frac{9sqrt{3}-3-9+sqrt{3}}{3^2-(sqrt{3})^2}=frac{10sqrt{3}-12}{9-3}=$

 

$=frac{10sqrt{3}-12}{6}$

 

Ответ:  $cotangle D=</var><var>frac{10sqrt{3}-12}{6}$